组合数学思维题
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2019牛客多校9 E题
题解思路
其实解法一二的本质内核是一样的，可以都看一下
解法一
当合并这两个集合的时候，应该将这两个集合合并后消失的贡献减去
消失的贡献就应该是选择了一个a，选择了一个b，从剩下的众多集合中选择两个
(即cd,ce,ef……)那么这个怎么算呢，可以用完全平方公式来推导
(a+b+c+d)^2=a^2+b^2+c^2+d^2+2ab+2ac+2bc+2ad+2bd+2cd
所以众多集合中选择任意选择两个的情况可以用（和的平方-平方的和）/2来求（最重要的一步）
解法二
AC代码
解法一代码
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#include <bits/stdc++.h>
using ll = long long;
const int MAXN = 100010;
int n, m;
int f[MAXN], sz[MAXN];
ll sum;
inline ll sqr(int x) {
return 1ll * x * x;
}
inline int getf(int x) {
return f[x] == x ? x : (f[x] = getf(f[x]));
}
int main() {
scanf("%d%d", &n, &m);
ll ans = (__int128) n * (n - 1) * (n - 2) * (n - 3) / 24;
printf("%lld\n", ans);
for (int i = 1; i <= n; ++i) {
f[i] = i;
sz[i] = 1;
}
/*最开始的平方和*/
sum = n;
while (m--) {
int u, v;
scanf("%d%d", &u, &v);
u = getf(u);
v = getf(v);
if(ans==0 || u==v) goto END;
if (u != v) {
/*减掉合并部分的平方和*/
sum -= sqr(sz[u]) + sqr(sz[v]);
/*后面的(sqr(n - sz[u] - sz[v]) - sum) / 2;就是`和的平方`-`平方和`=`剩下的所有两两组合`*/
ll tmp = 1ll * sz[u] * sz[v] * (sqr(n - sz[u] - sz[v]) - sum) / 2;
f[u] = v;
sz[v] += sz[u];
/*新的平方和的维护*/
sum += sqr(sz[v]);
/*减去合并减少的贡献值*/
ans -= tmp;
}
END:
printf("%lld\n", ans);
}
return 0;
}
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解法二代码
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#include <bits/stdc++.h>
using namespace std;
typedef long long ll;
const int mod = 1e9 + 7;
const int inf = 0x3f3f3f3f;
const int maxn = 100000 + 5;
ll C[maxn][5];
int p[maxn], sz[maxn], cnt[maxn];
int n, m;
ll ans;
set<int> st;
inline void init() {
for(int i = 0; i < maxn; i++) C[i][0] = 1;
for(int i = 1; i < maxn; i++) {
for(int j = 1; j < 5; j++) {
C[i][j] = C[i-1][j] + C[i-1][j-1];
}
}
}
inline int Find(int x) { return x == p[x] ? x : p[x] = Find(p[x]); }
inline void Union(int x, int y) {
int fx = Find(x), fy = Find(y);
if(fx != fy) {
if(fx > fy) swap(fx, fy);
p[fx] = fy;
ll tp = C[n-sz[fx]-sz[fy]][2];
for(auto i : st) {
tp -= C[i][2]*cnt[i];
}
tp += C[sz[fx]][2]+C[sz[fy]][2];
if(tp > 0) ans -= 1LL*sz[fx]*sz[fy]*tp;
cnt[sz[fx]]--;
cnt[sz[fy]]--;
if(cnt[sz[fx]] == 0) st.erase(sz[fx]);
if(cnt[sz[fy]] == 0) st.erase(sz[fy]);
sz[fy] += sz[fx];
cnt[sz[fy]]++;
st.insert(sz[fy]);
}
}
int main() {
init();
scanf("%d%d", &n, &m);
for(int i = 1; i <= n; i++) {
p[i] = i;
sz[i] = 1;
}
cnt[1] = n; st.insert(1);
ans = C[n][4];
printf("%lld\n", ans);
while(m--) {
int u, v;
scanf("%d%d", &u, &v);
Union(u, v);
printf("%lld\n", ans);
}
return 0;
}
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每天一句叨叨
生活总是很奇妙，我们到底该去向何方？
世俗的成功吗？还是当下的快乐呢？
珍惜身边的人呢？还是继续寻找？
